Pierre est mon meilleur élève.：Pierre is my best student.

meilleur(e)はbonの比較級、（最上級はle meilleur,la meilleure)
mieuxはbienの比較級（最上級はle mieux)です。
例えば
Elle est la meilleure actrice.
Il est mon meilleur ami.
私の最良の友と言う時はこう言います。英語でmy best friendて言う時theのかわりにmyが来るのと同じ理屈です。
Elle court le plus vite.
Ils parlent japonais que nous.
mieuxは副詞ですから比較級はmieux,最上級はle mieuxで変化なしです。